Đề bài

Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, a) Có bao nhiêu cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường trường hợp hợp không chọn cái nào? b) Có bao nhiêu cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu?

Lời giải chi tiết

a)Số cách chọn ra 0 bút chì màu là: \(1 = C_{15}^0\) (Không chọn cái nào là 1 cách)Số cách chọn ra 1 bút chì màu là: \(C_{15}^1\)Số cách chọn ra k bút chì màu là: \(C_{15}^k\)\( \Rightarrow \)Tổng số cách chọn ra một số bút chì màu là: \(C_{15}^0 + C_{15}^1 + C_{15}^2 + ... + C_{15}^{15}\)Theo công thức nhị thức Newton, ta có:\({\left( {1 + x} \right)^{15}} = C_{15}^0 + C_{15}^1x + C_{15}^2{x^2} + ... + C_{15}^{15}{x^{15}}\)Thay \(x = 1\) ta được \(C_{15}^0 + C_{15}^1 + C_{15}^2 + ... + C_{15}^{15} = {2^{15}} = 32768\)Vậy có 32768 cách chọn ra một số bút chì màu, tính cả trường hợp không chọn cái nào.b) Số cách chọn ra k bút chì màu là: \(C_{15}^k\)\( \Rightarrow \)Tổng số cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu là: \(C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15}\)Mà \(C_{15}^k = C_{15}^{15 - k},0 \le k \le 15\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^{10} + ... + C_{15}^{15} = C_{15}^7 + C_{15}^6 + C_{15}^5 + ... + C_{15}^0\\\frac{1}{2}\left( {C_{15}^0 + C_{15}^1 + C_{15}^2 + ... + C_{15}^{15}} \right) = \frac{1}{2}{.2^{15}} = 16384\end{array}\) Vậy có 16384 cách chọn ra ít nhất 8 bút chì màu.