Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng: a) \(\frac{B\text{D}}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\), từ đó suy ra \(A\text{E}=\frac{AB.AC}{AB+AC}\)

b) ΔDFC ∽ ΔABC 

c) DF=DB

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuô🍨ng HDA (vuông tại D) và AHC (vuông tại H) có: $\widehat{DAH}={{90}^{0}}-\widehat{ACB}ඣ=\widehat{HCA}$.

Do đó $\Delta HDA\backsim \Delta AHC🉐$ (cặp góc nhọn).

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam g🦹iá𒁏c ABC vuông tại đỉnh A, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=41$, hay $BC=\sqrt𒁃{41}$ cm.

Mặt khác, trong tam giác vuôngℱ ABC với đườ𝔉ng cao AH, ta có:

+) $AH.BC=2{{S}_{ABC}}=AB.AC$.

Do đó $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\f💧rac{20}{\s♋qrt{41}}$ (cm).

+) $A{{B}^{2}}=BH.BC$. Do đó $BH=\frac{✨A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{25}{\sqrt{41}}$ (cm).

+) $A{{C}^{2🌃}}=CH.BC🅷$. Do đó $CH=\frac{A{{C}^{2}}}{BC}=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

+ $HD=\frac{BH.AC}{BC}=\frac{\frac{25}{\sqrt{41}}.4}{\sqrt{41}}=\frac{📖100}{41}$ (c💮m).