Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot (ABCD)\) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \)

             a) Chứng minh r♛ằng\((SAC) \bot (SBD)\) và \((SAD) \bot (SCD)\)

             b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh \((ACF) \bot (SBC)\) và \((AEF) \bot (SAC)\)              c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(BD \bot AC,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot BD\), suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) chứa đường thẳng \(BD\), do đó \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).Ta có: \(CD \bot AD,CD \bot SA\), suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa đường thẳng \(CD\), do đó \(\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).b) Ta có: \(AD \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(AD \bot SB\), mà \(SB \bot DF\) suy ra \(SB \bot \left( {ADF} \right)\), do đó\(SB \bot AF\).Ta lại có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AF\), suy ra \(AF \bot \left( {SBC} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {ACF} \right)\) chứa đường thẳng \(AF\) nên \(\left( {ACF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).Vì \(AF \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(AF \bot SC\). Tương tự, ta có \(AE \bot \left( {SCD} \right)\) nên \(AE \bot SC\), suy ra \(SC \bot \left( {AEF} \right)\), mà mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) chứa đường thẳng \(SC\) nên \(\left( {AEF} \right) \bot \left( {SAC} \right)\). c) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), kẻ \(OH \bot SC\) tại \(H\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(OH \bot BD\), suy ra \(OH\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\), hay \(d\left( {BD,SC} \right) = OH\)Ta có: \(\Delta CHO\) đồng dạng với  \(\Delta CAS\) nên \(\frac{{OC}}{{CS}} = \frac{{OH}}{{AS}}\), suy ra \(OH = \frac{{AS \cdot OC}}{{CS}} = \frac{a}{2}\).Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{a}{2}\).