Đề bài

Biết rằng đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} + p{x^3} - 2{x^2} + 1\) có 2 nghiệm (khác 0) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng p = 0.

Lời giải chi tiết

Gọi 2 nghiệm đối nhau của f(x) là a và -a (a \(\ne\) 0). Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}f\left( a \right) = {a^4} + p{a^3} - 2{a^2} + 1\\f\left( { - a} \right) = {\left( { - a} \right)^4} + p{\left( { - a} \right)^3} - 2{\left( { - a} \right)^2} + 1 = {a^4} - p{a^3} - 2{a^2} + 1\end{array}\) Vì a và -a là hai nghiệm của f(x) nên: \(f\left( a \right) = f\left( { - a} \right)\\ {a^4} + p{a^3} - 2{a^2} + 1 = {a^4} - p{a^3} - 2{a^2} + 1\\p{a^3} =  - p{a^3}\\2p{a^3} = 0\\Do\,a \ne 0 \ \text{nên} \; p = 0\)