Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA = OB = OC = a\) và \(\widehat {AOB} = 90^\circ ;\) \(\widehat {BOC} = 60^\circ \); \(\widehat {COA} = 120^\circ \). Tính theo \(a\) thể tích khối tứ diện \(OABC\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AB = a\sqrt 2 \), \(BC = a\), \(CA = a\sqrt 3 \), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).Kẻ \(OH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại \(H\).Vì \(OA = OB = OC\) nên \(HA = HB = HC\), hay \(H\) là trung điểm của \(AC\).Xét tam giác \(OAH\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta tính được: \(OH = \frac{a}{2}\).Vậy \({V_{OABC}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABC}} \cdot OH = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2  \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}{\rm{.\;}}\)