Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\). a) Chứng minh rằng \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\). b) Kẻ \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng \(AM.AB = AN.AC\). c) Chứng minh rằng \(\Delta ANM\backsim\Delta ABC\). d) Cho biết \(AB = 9cm,AC = 12cm.\) Tính diện tích tam giác \(AMN\).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có: \(\widehat {HAM}\) chung (do \(\widehat {HAM}\) cũng là \(\widehat {HAB}\)) \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HM \bot AB\) và \(AH\) là đường cao) Do đó, \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) (g.g). b) Vì \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ) Suy ra \(AM.AB = A{H^2}\) (1) - Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có: \(\widehat {HAN}\) chung (do \(\widehat {HAN}\) cũng là \(\widehat {HAC}\)) \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AC\) và \(AH\) là đường cao) Do đó, \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) (g.g). Vì \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) nên \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ) Suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra, \(AM.AB = AN.AC\)(điều phải chứng minh). c) Từ câu b ta có: \(AM.AB = AN.AC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (tỉ lệ thức) Xét \(\Delta ANM\)và \(\Delta ABC\) ta có: \(\widehat A\) chung \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (chứng minh trên) Do đó, \(\Delta ANM\backsim\Delta ABC\)(c.g.c) d) Áp dụng định lí Py- ta – go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15cm\) Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) \( \Rightarrow AH.BC = AB.AC\) \( \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2cm\). Ta có: \(A{H^2} = AM.AB = AM.9 = 7,{2^2} \Rightarrow AM = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76cm\) \(A{H^2} = AN.AC = AN.12 = 7,{2^2} \Rightarrow AN = \frac{{7,{2^2}}}{{12}}4,32cm\). Diện tích tam giác vuông \(AMN\) là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN = \frac{1}{2}.5,76.4,32 = 12,4416c{m^2}\).

Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là 12,4416cm².