Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại M. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) $\Delta MNC\backsim \Delta ABC$. b) $MN=MB$.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác MNC và tam giác ABC có: $\widehat{NMC}=\widehat{BAC}={{90}^{0}},\widehat{C}\ chung$. Do đó, $\Delta MNC\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$b) Vì $\Delta MNC\backsim \Delta ABC\left( cmt \right)$ nên $\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}\left( 1 \right)$Vì AM là tia phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{MB}{AB}=\frac{MC}{AC}$ (2)Từ (1) và (2) ta có: $\frac{MN}{AB}=\frac{MB}{AB}$. Vậy $MN=MB$.