Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M xuống AB (H.3.46).

 

Chứng minh rằng: a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật. b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác BKEN có ba góc vuông N, E, K nên là hình chữ nhật.b) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK, BN // EK.⇒ \(\widehat {NBM} = \widehat {KCB}\) (hai góc đồng vị). (1)Ta có \(\widehat {MBD} = \widehat {CBK}\) (hai góc đối đỉnh). (2)Theo giả thiết, tam giác ABC cân tại A ⇒ \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) (3).Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat {NBM} = \widehat {DBM}\)Hai tam giác vuông NBM và DBM có: DB là cạnh chung, \(\widehat {NBM} = \widehat {DBM}\) (chứng minh trên) nên ∆NBM = ∆DBM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ MN = MD.Ta có ME – MD = ME – MN = NE = BK (điều phải chứng minh).