Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(M\) là trung điểm cạnh \(AD.\) Đường thẳng qua \(M\) song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(P\) và cắt \(BC\) tại \(N.\) Chứng minh rằng: a) \(P\) là trung điểm của \(AC\) và \(N\) là trung điểm của \(BC;\) b) \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).\) 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AB//CD\)Mà\(\begin{array}{l}MN//AB\\ = > MN//CD\end{array}\)Áp dụng hệ quả của tính chất đường trung bình của tam giác: Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại:Xét tam giác \(ACD\) , ta có: \(MP//CD\)M là trung điểm AD=> P là trung điểm cạnh AC.Chứng minh tương tự ta có:P là trung điểm cạnh AC \(NP//AB\)=> N là trung điểm cạnh BC.