Đề bài

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \) (1)

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai \(2{x^2} + x + 1\) có a = 2 > 0, ∆ = -7 < 0 nên \(2{x^2} + x + 1\) > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \) PT (1) xác định trên \(\mathbb{R}\)Bình phương 2 vế của PT (1) ta thu được PT:  \({x^2} + (1 - m)x - m + 2 = 0\) (2)Ta có: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệmTam thức bậc 2 \({x^2} + (1 - m)x - m + 2\) có ∆ = \({(1 - m)^2} - 4( - m + 2) = {m^2} + 2m - 7\)PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 1 - 2\sqrt 2 \) hoặc \(m \ge  - 1 + 2\sqrt 2 \)Vậy với \(m \in \left[ { - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right]\) thì PT (1) có nghiệm