Đề bài

Hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(O.\) Đường thẳng qua \(O\) song song với \(CD,\) cắt \(AD\) tại \(E\) và cắt \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh rằng \(O\) là trung điểm của \({\rm{EF}}.\) 

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AB//CD\)=> \(\Delta AOB\) ∽ \(\Delta COD\)=> \(\frac{{AO}}{{OC}} = \frac{{BO}}{{OD}} \Leftrightarrow \frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}}\) \(EF//CD \Rightarrow \frac{{OB}}{{BD}} = \frac{{FO}}{{CD}},\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{OE}}{{CD}}\)Mà \(\frac{{OA}}{{AC}} = \frac{{OB}}{{BD}} \Rightarrow EO = FO\)=> O là trung điểm của EF