Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3\)

Lời giải chi tiết

Để tam thức bậc hai \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\) Ta có: a = 1 >0 nên \(\Delta  < 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 4.(2m + 3) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 < 0\end{array}\) Tam thức \(f(m) = {m^2} - 6m - 11\) có \(\Delta ' = 20 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({m_1} =  3+\sqrt{20}; {m_2} = 3-\sqrt{20}\) Khi đó  \(  3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\) Vậy \(  3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\)