Đề bài

Cho 2 điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \).

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có \(\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = 4\overrightarrow {MO} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {BA} \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}
\end{array}\)

Khi đó \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng chiều. Vậy O thuộc đoạn AB sao cho \(OB = \frac{1}{4}AB\).

 

b) Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {MO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right)\\
= 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO}
\end{array}\)