Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {2;0;2} \right),B\left( {4;2;4} \right),D\left( {2; - 2;2} \right),C'\left( {8;10; - 10} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A'\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(D\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2 - 2; - 2 - 0;2 - 2} \right) = \left( {0; - 2;0} \right)\). \(\overrightarrow {BC}  = \left( {{x_C} - 4;{y_C} - 2;{z_C} - 4} \right)\). \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = 0\\{y_C} - 2 =  - 2\\{z_C} - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 0\\{z_C} = 4\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {4;0;4} \right)\). Giả sử \(A'\left( {{x_{A'}};{y_{A'}};{z_{A'}}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_{A'}} - 2;{y_{A'}};{z_{A'}} - 2} \right)\). \(\overrightarrow {CC'}  = \left( {8 - 4;10 - 0; - 10 - 4} \right) = \left( {4;10; - 14} \right)\). \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - 2 = 4\\{y_{A'}} = 10\\{z_{A'}} - 2 =  - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 6\\{y_{A'}} = 10\\{z_{A'}} =  - 12\end{array} \right.\). Vậy \(A'\left( {6;10; - 12} \right)\).