Đề bài

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:

a) \(f\left( x \right) = x + 2;\) b) \(g\left( x \right) = 4{x^2} - 1;\) c) \(h\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}.\)

Lời giải chi tiết

a) Tại \({x_0} \in \mathbb{R}\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x + 2 - {x_0} - 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\)

b) Tại \({x_0} \in \mathbb{R}\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)\(\begin{array}{l}\Delta y = g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right) = 4{\left( {{x_0} + \Delta x} \right)^2} - 1 - 4{x_0}^2 + 1 = 8{x_0}.\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{8{x_0}.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}} = 8{x_0} + \Delta x \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {8{x_0} + \Delta x} \right) = 8{x_0}.\end{array}\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 8x.\)c) Tại \({x_0} \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\), gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)\(\begin{array}{l}\Delta y = h\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - h\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{x_0} + \Delta x - 1}} - \frac{1}{{{x_0} - 1}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\left( {{x_0} + \Delta x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_0} + \Delta x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_0} + \Delta x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}.\end{array}\)\( \Rightarrow h'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)