Đề bài

Cho ba điểm \(A(2;2),B(3;5),C(5;5)\) a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD c) Giải tam giác ABC

Lời giải chi tiết

a) Gọi tọa độ của điểm D là \(\left( {x;y} \right)\) ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right)\), \(\overrightarrow {DC}  = \left( {5 - x;5 - y} \right)\)Để ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} \)= \(\overrightarrow {DC} \)Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}5 - x = 1\\5 - y = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\)Vậy để ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là \(D\left( {4;2} \right)\)b) Gọi M  là giao điểm của hai đường chéo, suy ra M là trung điểm của ACSuy ra: \({x_M} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2};{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\)Vậy tọa đọ giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD  là \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{7}{2}} \right)\)c) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0} \right)\)Suy ra: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \)             \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {0^2}}  = 2\)            \(\begin{array}{l}\cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{1.3 + 3.3}}{{\sqrt {10} .3\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 26^\circ 33'\\\cos B = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{BA.BC}} = \frac{{\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 3} \right)0}}{{\sqrt {10} .2}} =  - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat B = 108^\circ 26'\\\widehat C = 180^\circ  - \widehat A - \widehat B = 180^\circ  - 26^\circ 33' - 108^\circ 26' = 45^\circ 1'\end{array}\)