Đề bài

Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm X, Y mà xưởng cần sản xuất mỗi ngày.Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:-          Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)-          Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên \(6x + 2y \le 12\)-          Máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên \(2x + 2y \le 8\)Từ đó ta có hệ bất phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}6x + 2y \le 12\\2x + 2y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.Với các đỉnh \(O(0;0),A(0;4),\)\(B(1;3),\)\(C(2;0).\)Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: \(F = 10x + 8y\)Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:Tại \(O(0;0),\)\(F = 10.0 + 8.0 = 0\)Tại \(A(0;4):\)\(F = 10.0 + 8.4 = 32\)Tại \(B(1;3),\)\(F = 10.1 + 8.3 = 34\)Tại \(C(2;0).\)\(F = 10.2 + 8.0 = 20\) F đạt giá trị lớn nhất bằng \(34\) tại \(B(1;3).\)Vậy xưởng đó nên sản xuất 1 tấn sản phầm loại X và 3 tấn sản phầm loại Y để tổng số tiền lãi là lớn nhất.