Đề bài

Chứng minh \({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.\)

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi \(n = 2\) ta có \({2^2} > {(2 + 1)^{2 - 1}}\) hay \(4 > 3\)hiển nhiên đúngNhư vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:\({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1 + 1)^{k + 1 - 1}}\) hay \({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:\({k^k} > {(k + 1)^{k - 1}}\)Suy ra\({k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1)^{k - 1}}{(k + 1)^{k + 1}} = {(k + 1)^{k - 1 + k + 1}} = {(k + 1)^{2k}}\)Mà \({(k + 1)^{2k}} = {\left[ {{{(k + 1)}^2}} \right]^k} = {\left( {{k^2} + 2k + 1} \right)^k} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k}\)\( \Rightarrow {k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k} = {\left[ {k.(k + 2)} \right]^k} = {k^k}.{(k + 2)^k}\)\( \Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).