Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = $\frac{1}{2}$NH. Chứng minh rằng $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$.

Lời giải chi tiết

(H.9.23). Hai tam giác vuông CAH (vuông tại H) và CBA (vuông tại A) có góc C chung. Do đó \(\Delta CAH\backsim \Delta CBA\) (một cặp góc nhọn bằng nhau).Suy ra $\frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=\frac{AN}{CA}$  và $\widehat{CAH}=\widehat{CBA}$.Hai tam giác CAN và CBM có:$\frac{CA}{CB}=\frac{AN}{BM}$ (theo chứng minh trên),$\widehat{CBM}=\widehat{CAH}=\widehat{CBA}=\widehat{CBN}$ (theo chứng minh trên).Vậy $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ (c.g.c).Hai tam giác vuông CHN (vuông tại H) và CAM (vuông tại A) có:$\frac{HC}{AC}=\frac{HA}{AB}=\frac{HN}{AM}$ (vì $\Delta CAH\backsim \Delta CBA$).Vậy $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)