Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không là trung điểm của \(CD\), \(BC\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

Xét \(\left( {ADC} \right)\), do \(P\) không là trung điểm của \(CD\), nên đường thẳng \(NP\) cắt đường thẳng \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\).Ta có \(I \in \left( {MNPQ} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(NP\)) và \(I \in \left( {ABC} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(AC\)). Như vậy \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).Ta nhận thấy rằng \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNPQ} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\), và\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {MNPQ} \right)\\Q \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).Do đó giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(MQ\).Mà \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), nên \(I \in MQ\).Vậy \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua điểm \(I\). Bài toán được chứng minh.