Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB\), điểm \(O\) thuộc tia đối của tia \(AB\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OA, OB\). Chứng tỏ rằng: a) \(OA < OB\). b) Độ dài đoạn thẳng \(MN\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm \(O\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(O\) thuộc tia  đối của tia \(AB\) nên \(O\) và \(B\) nằm về hai phía đối với điểm \(A\)Hay điểm \(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\). Do đó: \(OA + AB = OB \Rightarrow OA < OB\)b) Ta có: \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(OA, OB\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = MA = \frac{{OA}}{2}\\ON = NB = \frac{{OB}}{2}\end{array} \right.\)Mà \(OA < OB \Rightarrow OM < ON\) và M, N nằm về cùng một phía đối với điểm O.Do đó: M nằm giữa O và N và \(OM + MN = ON\)\( \Rightarrow MN = ON - OM = \frac{{OB}}{2} - \frac{{OA}}{2} = \frac{{AB}}{2}\)Vậy \(MN = \frac{{AB}}{2}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm \(O\).