Đề bài

Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\) với a, b là các số thực thỏa mãn \(\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}\)Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)