Đề bài

Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Từ vị trí \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \(\overrightarrow v  = \left( {2;2; - 3} \right)\). Tính độ dài đường hầm cần đào.

Lời giải chi tiết

Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow v  = \left( {2;2; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + 2t\\y = \frac{1}{2} + 2t\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t\end{array} \right.\) Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên \(B\left( {\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)\) với \(t \ne 0\) để B không trùng với A. Vì B thuộc (S) nên ta có: \({\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow 1 + \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)t + 17{t^2} = 1\) \( \Leftrightarrow \left( {4 - 3\sqrt 2 } \right)t + 17{t^2} = 0\) \( \Rightarrow t = \frac{{3\sqrt 2  - 4}}{{17}}\) (do trường hợp \(t = 0\) không thỏa mãn). Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 3t} \right)}^2}}  = \left| t \right|\sqrt {17}  = \frac{{3\sqrt 2  - 4}}{{\sqrt {17} }}\). Vậy độ dài đường hầm cần đào là \(\frac{{3\sqrt 2  - 4}}{{\sqrt {17} }}\).