Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh: a) \(MP\parallel AD,\,\,MP = \frac{1}{4}AD\) b) \(AQ = \frac{2}{5}AN\) c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và \(PR = \frac{3}{4}AD\).

Lời giải chi tiết

Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN. \( \Rightarrow MP\parallel BN\) hay \(MP\parallel BC\). Mà ABCD là hình bình hành nên \(AD\parallel BC\) \( \Rightarrow MP\parallel AD\) Ta có: \(MP = \frac{1}{2}NB\) Mà N là trung điểm BC nên \(NB = \frac{1}{2}BC\) \( \Rightarrow MP = \frac{1}{4}BC \Rightarrow MP = \frac{1}{4}AD\) b) Vì \(MP\parallel AD\) nên \(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{QP}}{{AQ}}\) (hệ quả của định lý Thales) \( \Rightarrow \frac{{QP}}{{AQ}} = \frac{1}{4} \Rightarrow AQ = 4QP\,\,\left( 1 \right)\) Ta có: \(QP = AP - AQ = \frac{1}{2}AN - AQ\) (P là trung điểm AN) Thay vào (1) ta được \(AQ = 4.\left( {\frac{1}{2}AN - AQ} \right)\) \( \Rightarrow AQ = 2AN - 4AQ \Rightarrow 5AQ = 2AN \Rightarrow AQ = \frac{2}{5}AN\) (đpcm) c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(MR\parallel AD,\,\,MR = AD\) Mà ta đã chứng minh \(MP\parallel AD\) nên ba điểm M, P, R thẳng hàng. Theo câu a) ta có \(MP = \frac{1}{4}AD \Rightarrow MP = \frac{1}{4}MR\) \( \Rightarrow PR = \frac{3}{4}MR \Rightarrow PR = \frac{3}{4}AD\).