Đề bài

Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {1;2} \right)\) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm \(\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) là \(\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}\) với \(x > 0\). Tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{{x^2}}}\) với \(x > 0\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{1 - x}}{{{x^2}}}dx}  = \int {\left( {{x^{ - 2}} - \frac{1}{x}} \right)dx}  =  - \frac{1}{x} - \ln {\rm{x}} + C\\f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow  - \frac{1}{1} - \ln 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 3\end{array}\) Vậy \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{x} - \ln {\rm{x}} + 3\).