Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\). a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\). b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh \(AD = DH\). c) Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng. d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC\) lớn hơn \(AH + 3BG\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có: AH chung, \(AB = AC\)nên \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông). b) Từ câu a) \(\Delta AHB = \Delta AHC\), suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng). Ta có AC//HD, suy ra \(\widehat {{H_1}} = \widehat {{A_2}}\) (so le trong), từ đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{H_1}}\) nên \(\Delta \)ADH cân tại D, suy ra \(AD = DH\). (1). c) Ta có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {ABC} = {90^o}\) (vì tam giác AHB vuông tại H), \(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = \widehat {AHB} = {90^o}\) (vì AH vuông góc với BC tại H). Vì \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{H_1}}\) nên \(\widehat {ABH} = \widehat {{H_2}}\), suy ra tam giác BHD cân tại D, do đó \(BD = DH\). (2). Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của AB. Tam giác ABC có CD, AH là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó, BG là trung tuyến, M là trung điểm của AC nên BG đi qua M, tức B, G, M thẳng hàng. d) Trên tia BM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của BK, khi đó \(2BM = BK\). Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(3BG = 2BM\). Từ đó \(BK = 2BM = 3BG\). Ta chứng minh được \(\Delta BMC = \Delta KMA\left( {c.g.c} \right)\), suy ra \(BC = AK\). Trong tam giác ABK, ta có: \(AK + AB > BK\) hay \(BC + AB > BK\), mà \(BK = 2BM = 3BG\) nên \(BC + AB > 3BG\). (3) Trong tam giác vuông AHC, ta có \(AC > AH\). (4) Từ (3) và (4) suy ra \(BC + AC + AB > AH + 3BG\).