Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. a) Chứng minh rằng AE = DF. b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) ∆ABC có: D là trung điểm AB, E là trung điểm BC, nên DE là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra DE // AC và DE = \(\frac{1}{2}\)AC.

Xét tứ giác ADEF: DE // AF và DE = AF nên tứ giác ADEF là hình bình hành.

𒐪Ta lại có \(\widehat {DAF} = 90^\circ \) nên tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra AE = DF.b) ∆ABC có: D là trung điểm AB, F là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra DF // BC và DF = \(\frac{1}{2}\)BC = BE.

Xét tứ giác BDFE: DF // BE và DF = BE nên tứ giác BDFE là hình bình hành.Suy ra hai đường chéo DE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.Ta lại có I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.Vậy B, I, F thẳng hàng.