Đề bài

Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OE}  = \overr♔ightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

Không mất tính tổng quát giả sử \(OA = OB = OC = OD = OE = 1\)Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = {360^ \circ }:5 = {72^ \circ }\)

+ Dựng hình bình hành OEHB.

Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của \(\widehat {EOB}\)hay H thuộc OA.\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {OM} \) với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA.

+ Tính OM:

Xét tam giác OHE, ta có:\(\widehat {HOE} = 72;OE = HE = 1\) \( \Rightarrow \widehat {OHE} = {72^o} \Rightarrow \widehat {OEH} = {180^ \circ } - {72^o} - {72^o} = {36^ \circ }\)Áp dụng định lí cosin: \(O{H^2} = O{E^2} + E{H^2} - 2.OE.OH.\cos E\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow O{H^2} = 1 + 1 - 2.\cos {36^ \circ } \approx 0,382\\ \Rightarrow OH = 0,618\\ \Rightarrow OM = OH + OA = 0,618 + 1 = 1,618\end{array}\)

+ Dựng hình bình hành OCKD, ta có: \(\overri🐷ghtarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  ꦦ= \overrightarrow {OK} \)

Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của \(\widehat {COD}\)\( \Rightarrow \widehat {COK} = \frac{1}{2}\widehat {COD} = \frac{1}{2}{.72^o} = {36^o}\)\( \Rightarrow \widehat {KOA} = \widehat {KOC} + \widehat {COB} + \widehat {BOA} = {36^ \circ } + {72^ \circ } + {72^ \circ } = {180^ \circ }\)

Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA).

+Tính OK:

Xét tam giác OCK, ta có:\(\begin{array}{l}OC = CK = 1;\widehat {COK} = {36^o} \Rightarrow \widehat {CKO} = {36^o}\\ \Rightarrow \widehat {OCK} = {180^o} - {36^o} - {36^o} = {108^o}\\ \Rightarrow O{K^2} = O{C^2} + C{K^2} - 2.OC.CK.\cos \widehat {OCK}\\ \Leftrightarrow O{K^2} = 1 + 1 - 2.\cos {108^o} \approx 2,618\\ \Rightarrow OK = 1,618 = OM\end{array}\)

Vậy O là trung điểm KM hay \(\overrightarroꦯw {OK}  + \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OE}  = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)\\ = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow 0 (dpcm)\end{array}\)