Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm \(G.\) Lấy điểm \(A',\,\,B'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'}  = 2\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {BB'}  = 2\overrightarrow {CA} .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C.\) Chứng minh rằng \(GG'\) song song với \(AB.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C}  = \overrightarrow 0 \)Ta có: \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC}  = 3\overrightarrow {GG'} \)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {CA}  = 3\overrightarrow {GG'} \\ \Leftrightarrow \,\,2\overrightarrow {BA}  = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}\)\( \Rightarrow \) \(AB\)//\(GG'\) (đpcm)