Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 10cm. Vẽ hai nửa đường tròn tâm O đường kính AB và tâm O’ đường kính CD cắt nhau tại P, Q. Biết rằng đường tròn tâm H đường kính PQ tiếp xúc với AB và CD (Hình 47). Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn (O), (O’).

Lời giải chi tiết

Ta có: O là tâm đường tròn đường kính AB nên \(OA = OB = OP = OQ = \frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\)cm. Ta lại có: O’ là tâm đường tròn đường kính CD nên \(O'C = O'D = O'P = O'Q = \frac{{CD}}{2}\) Mà \(AB = CD\) (do ABCD là hình chữ nhật), suy ra \(OP = OQ = O'P = O'Q\). Có: AB, CD tiếp xúc với (H), \(OH \bot AB\)tại O tại O’, do đó O và O’ là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến AB và CD của (H), hay \(O \in (H),O' \in (H)\). Diện tích tam giác OPQ là:

\(\frac{1}{2}OP.OQ = \frac{1}{2}5.5 = \frac{{25}}{2}\)(cm²)

Diện tích hình quạt tròn OPQ của (O) là

\(\frac{{\pi {{.5}^2}.90}}{{360}} = \frac{{25\pi }}{4}\)(cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O) là:

\(\frac{{25\pi }}{4} - \frac{{25}}{2} = \frac{{25}}{4}\left( {\pi  - 2} \right)\)(cm²)

Diện tích tam giác O’PQ là:

\(\frac{1}{2}OP.OQ = \frac{1}{2}5.5 = \frac{{25}}{2}\)(cm²)

Diện tích hình quạt tròn O’PQ của (O’) là

\(\frac{{\pi {{.5}^2}.90}}{{360}} = \frac{{25\pi }}{4}\) (cm²)

Diện tích hình tạo bởi dây PQ và cung nhỏ PQ của (O’) là:

\(\frac{{25\pi }}{4} - \frac{{25}}{2} = \frac{{25}}{4}\left( {\pi  - 2} \right)\) (cm²)

Vậy diện tích phần chung của 2 nửa đường tròn (O) và (O’) là:

\(2.\frac{{25}}{4}\left( {\pi  - 2} \right) = \frac{{25}}{2}\left( {\pi  - 2} \right)\) (cm²)