Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 4;0} \right)\). a) Chứng minh rằng ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng. b) Tìm toạ độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. c) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). d) Tính chu vi của tam giác \(ABC\). e) Tính \(\cos \widehat {BAC}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 4; - 1} \right),k\overrightarrow {AC}  = \left( { - k; - 4k; - k} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \in \mathbb{R}\). Vậy ba điểm \(A,B,C\) không thẳng hàng. b) Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). \(\overrightarrow {DC}  = \left( {0 - {x_D};\left( { - 4} \right) - {y_D};0 - {z_D}} \right) = \left( { - {x_D}; - 4 - {y_D}; - {z_D}} \right)\). Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \). \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 =  - {x_D}\\1 =  - 4 - {y_D}\\1 =  - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 1\\{y_D} =  - 5\\{z_D} =  - 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( { - 1; - 5; - 1} \right)\). c) \(G\left( {\frac{{1 + 2 + 0}}{3};\frac{{0 + 1 + \left( { - 4} \right)}}{3};\frac{{1 + 2 + 0}}{3}} \right) \Leftrightarrow G\left( {1; - 1;1} \right)\). d) Ta có: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 ;\\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 ;\\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {33} .\end{array}\) Chu vi tam giác \(ABC\)là: \(\sqrt 3  + 3\sqrt 2  + \sqrt {33} \). e) Trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt 3 .3\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).