Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) \(y = 2{x^3} + 3{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\); b) \(y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\); c) \(y = {x^5} - 5{{\rm{x}}^4} + 5{{\rm{x}}^3} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\); d) \(y = x + \frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\); e) \(y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x} \); g) \(y = x\sqrt {16 - {x^2}} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6{\rm{x}} - 12\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;5} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\). \(y\left( { - 1} \right) = 14;y\left( 1 \right) =  - 6;y\left( 5 \right) = 266\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y = 266\) tại \(x = 5\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} y =  - 6\) tại \(x = 1\). b) \(y = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {\left[ {\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} + 4\) Ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8{\rm{x}}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = \sqrt 2 \). \(y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{{16}};y\left( 0 \right) = 4;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 2 \right) = 4\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 4\) tại \(x = 0,{\rm{x}} = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = 0\) tại \(x = \sqrt 2 \). c) Ta có: \(y' = 5{{\rm{x}}^4} - 20{{\rm{x}}^3} + 15{{\rm{x}}^2}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0,x = 1\). \(y\left( { - 1} \right) =  - 10;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = 2;y\left( 2 \right) =  - 7\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y =  - 10\) tại \(x =  - 1\). d) Ta có: \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\), \(y' = 0\) không có nghiệm. \(y\left( 3 \right) = \frac{{13}}{3};y\left( 4 \right) = 5\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = 5\) tại \(x = 4\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = \frac{{13}}{3}\) tại \(x = 3\). e) Hàm số có tập xác định là \(\left[ {1;3} \right]\). Ta có: \(y' = \frac{1}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 2\). \(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2\) tại \(x = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = \sqrt 2 \) tại \(x = 1,x = 3\). g) Hàm số có tập xác định là \(\left[ { - 4;4} \right]\). Ta có: \(y' = {\left( x \right)^\prime }\sqrt {16 - {x^2}}  + x.{\left( {\sqrt {16 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {16 - {x^2}}  + x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }} = \frac{{16 - 2{x^2}}}{{\sqrt {16 - {x^2}} }}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x =  - 2\sqrt 2 ,x = 2\sqrt 2 \). \(y\left( { - 4} \right) = 0;y\left( { - 2\sqrt 2 } \right) =  - 8;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = 8;y\left( 4 \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 8\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y =  - 8\) tại \(x =  - 2\sqrt 2 \).