Đề bài

Cho khối chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là \(AB = 5a,BC = 8a,AC = 7a\), góc giữa SB và (ABC) là \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải chi tiết

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) Ta có: \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = {45^0}\) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\). Do đó, tam giác SAB vuông cân tại A. Suy ra, \(SA = AB = 5a\). Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{5a + 7a + 8a}}{2} = 10a\) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \sqrt {10a\left( {10a - 5a} \right)\left( {10a - 7a} \right)\left( {10a - 8a} \right)}  = 10{a^2}\sqrt 3 \) Thể tích khối chóp S. ABC là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.5a.10{a^2}\sqrt 3  = \frac{{50{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)