Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến. a) Chứng minh rằng BM = CN b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC cân tại A theo giả thiết. BM và CN là 2 đường trung tuyến nên M, N là 2 trung điểm của AC, AB.Vì AB = AC (tính chất tam giác cân)\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{AC}}{2} = AN = AM\)Xét tam giác AMB và tam giác ANC ta có :AM = AN (cmt)AB = ACGóc A chung\( \Rightarrow \Delta AMB =\Delta ANC\)\( \Rightarrow BM = CN\) ( 2 cạnh tương ứng )b) Vì BM và CN là các đường trung tuyếnMà I là giao điểm của BM và CN\( \Rightarrow \) I là trọng tâm của tam giác ABC\( \Rightarrow \) AI là đường trung tuyến của tam giác ABC hay AH đường là trung tuyến của tam giác ABC\( \Rightarrow \) H là trung điểm của BC