Đề bài

Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) có \(f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5.\) a) Hãy xác định giá trị của các hệ số \(a,b\) và \(c.\) b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1 \Rightarrow c = 1.\)Lại có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2\)\(f(2) = a{.2^2} + b.2 + c = 5 \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5\)Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 2\\4a + 2b + 1 = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\4a + 2b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\))Vậy hàm số bậc hai đó là \(y = f(x) = {x^2} + 1\)b) Tập giá trị \(T = \{ {x^2} + 1|x \in \mathbb{R}\} \)Vì \({x^2} + 1 \ge 1\;\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(T = [1; + \infty )\)Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 0}}{{2.1}} = 0;{y_S} = f(0) = 1\)Hay \(S\left( {0;1} \right).\)Vì hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)