Đề bài

Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm tọa độ điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho độ dài \({F_2}M\) lớn nhất, biết \({F_2}\) là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)

Lời giải chi tiết

Elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 3\)Ta có: \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4\)Gọi tọa độ của \(M(x,y)\), ta có: \(M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 5 - \frac{4}{5}x\)Vì \( - 5 \le x \le 5\) hay \( - 5 \le  - x \le 5\) nên \(5 + \frac{4}{5}\left( { - 5} \right) \le 5 + \frac{4}{5}( - x) \le 5 + \frac{4}{5}.5\)\( \Leftrightarrow 5 - 4 \le M{F_2} \le 5 + 4 \Leftrightarrow 1 \le M{F_2} \le 9\)\( \Rightarrow M{F_2} \le 9\). Dấu bằng xảy ra khi \( - x = 5\)Vậy độ dài \({F_2}M\) lớn nhất bằng 9 khi \(M( - 5,0)\)