Đề bài

Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}\) b) \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}\) xác định khi \( - x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 5\) nên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)Lấy \({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý thuộc mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right),\left( { - 5; + \infty } \right)\), sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\)Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)     (1)

Mặt khác, khi lấy x₁ và x₂ ൲cùng nhỏ hơn -5 hoặc cùng lớn hơn -5, ta đều có \({x_1} + 5\) và \({x_2} + 5\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right) > 0\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( { - 5; + \infty } \right)\)b) Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\) được viết lại như sau \(f\left( x \right) = \left| {3x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{        }}\left( {{\rm{3}}x - 1 \ge 0} \right)\\ - \left( {3x - 1} \right){\rm{   }}\left( {{\rm{3}}x - 1 < 0} \right)\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{    }}\left( {x \ge \frac{1}{3}} \right)\\ - 3x + 1{\rm{  }}\left( {x < \frac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\)Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3x - 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\)Lấy\({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2} \Rightarrow 3{x_1} - 1 < 3{x_2} - 1 \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)\)Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\) Xét hàm số \(h\left( x \right) =  - 3x + 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\)Lấy\({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:\({x_1} < {x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} >  - 3{x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} + 1 >  - 3{x_2} + 1 \Rightarrow h\left( {{x_1}} \right) > h\left( {{x_2}} \right)\)Suy ra hàm số \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\)Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)