Đề bài

Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:-  Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)-  Tổng số giờ vẽ không quá 30 giờ nên \(2x + 3y \le 30\)-  Số tấm thiệp tối thiểu là 12 tấm nên \(x + y \ge 12\)Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 30\\x + y \ge 12\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.(x,y \in \mathbb{N})\)Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.Với các đỉnh  \(A(6;6),\)\(B(15;0),\)\(C(12;0).\)Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: \(F = 10x + 20y\)Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:Tại \(A(6;6):\)\(F = 10.6 + 20.6 = 180\)Tại \(B(15;0):\)\(F = 10.15 + 20.0 = 150\)Tại \(C(12;0):\)\(F = 10.12 + 20.0 = 120\)F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại \(A(6;6).\)Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.