Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}}\); b) \(y = \sqrt {{x^2} - 16} \).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} =  + \infty \) Vậy \(x =  - 3,x = 1\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 1\) Vậy \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. b) Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16}  = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16}  = 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {{x^2} - 16}  = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt {{x^2} - 16}  = 0\) Vậy hàm số không có tiệm cận đứng. \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} = 1\) và \(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16}  - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16}  + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16}  + x}} = 0\end{array}\) Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x} =  - 1\) và \(\begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} - 16}  + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 16}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 16}  + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 16}  - x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 16}}{{\sqrt {{x^2} - 16}  - x}} = 0\end{array}\) Vậy đường thẳng \(y =  - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.