Đề bài

Nêu một ví dụ chỉ ra rằng \(\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  \ne \frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}\) với \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right],g\left( x \right) = 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết

Lấy \(f\left( x \right) = 1,g\left( x \right) = x,a = 1,b = 2\). Ta có: \(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx}  = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^2 = \ln \left| 2 \right| - \ln \left| 1 \right| = \ln 2\\\frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }} = \frac{{\int\limits_1^2 {1dx} }}{{\int\limits_1^2 {xdx} }} = \frac{{\left. x \right|_1^2}}{{\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2}} = \frac{{2 - 1}}{{\frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{1^2}}}{2}}} = \frac{2}{3}\end{array}\) Vậy \(\int\limits_a^b {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx}  \ne \frac{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} }}{{\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} }}\).