Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left( {{x^2} - 2} \right).{e^{2x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng:

A. \( - {e^2}\).             

B. \( - 2{e^2}\).           

C. \(2{e^4}\).              

D. \(2{e^2}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = {\left( {{x^2} - 2} \right)^\prime }.{e^{2x}} + \left( {{x^2} - 2} \right).{\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}.{e^{2x}} + \left( {{x^2} - 2} \right).2{e^{2x}} = 2\left( {{x^2} + x - 2} \right){e^{2x}}\) Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 1\). \(y\left( { - 1} \right) = 3{{\rm{e}}^{ - 2}};y\left( 1 \right) =  - {e^2};y\left( 2 \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y =  - {e^2}\) tại \(x = 1\). Chọn A.