Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B = {15^ \circ },\,\,\widehat C = {30^ \circ },\,\,c = 2.\) a) Tính số đo góc \(A\) và độ dài các cạnh \(a,b.\) b) Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. c) Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\widehat {BCD} = \widehat {DCA}\) (tức \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {BCA}\)). Tính độ dài \(CD.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\widehat A = {180^ \circ } - \widehat B - \widehat C = {180^ \circ } - {15^ \circ } - {30^ \circ } = {135^ \circ }.\)Áp dụng định lý sin, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{135}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{15}^ \circ }}} = \frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{2\sin {{135}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2\sqrt 2 }\\{b = \frac{{2\sin {{15}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = \sqrt 6  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.} \right.\)b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2.\sin {15^ \circ } = \sqrt 3  - 1\)Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là:Áp dụng định lý sin, ta có:\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{2}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2R\,\, \Leftrightarrow \,\,R = 2.\) c) Ta có: \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)\( \Rightarrow \) \(\widehat {ACD} = \widehat {BCD} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = {15^ \circ }\)Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(IB = IC = \sqrt 2 .\)Xét \(\Delta BCD\) có \(\widehat {DCB} = \widehat B = {15^ \circ }\)\( \Rightarrow \) \(\Delta BCD\) cân tại \(D.\)Mặt khác \(I\) là trung điểm của \(BC.\)\( \Rightarrow \) \(DI \bot BC\)Xét \(\Delta CDI\) vuông tại \(I\) có: \(CD = \frac{{IC}}{{\sin \widehat {DCB}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sin {{15}^ \circ }}} = 2 + 2\sqrt 3 .\)