Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của 𒆙bốn𒉰 cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam gﷺiác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra \(\widehat {AHE🅠} = \widehat {AEH}\)

Mà \(\widehat {HAE} + \widehat {AHE} ♔+ \widehat {AEH} = 180^\circ \)

Suy r🥂a \(\widehat {AHE} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2}\)

Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D nên \(\widehat {DHG} = \frac🌼{{180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // 📖CD, suy ra \(\widehat {HAE} + \widehat {HDG} = 180^\circ \)

Khi𒁏 đó \(\widehat {AHE}ꦰ + \widehat {DHG} = \frac{{180^\circ  - \widehat {HAE}}}{2} + \frac{{180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

= \(\fr𓃲ac{{180^\circ  - \widehat {HAE} + 180^\circ  - \widehat {HDG}}}{2}\)

=\(\frac{🅠{360ꦇ^\circ  - (\widehat {HAE} + \widehat {HDG})}}{2}\)

= \(\frac{{360^\circ  - 180^\circ }}{2}\)

Mà \(\꧒widehat {AHE} + \widehat {DHG} + \widehat {EHG} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {EHG} = 180^\circ  - (\widehat {AH✨E} + \widehat {DHG}) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự như trên ta cũng cóꩲ \(\widehat {HEF} = \widehat {EFG} = \wideha🍌t {FGH} = {90^0}.\)

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.