Đề bài

𝓡Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm dộ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x. Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC. Suy ra: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\). Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{BC + AB + AC}} = \frac{{chu{\rm{ }}vi\Delta AMN}}{{chu{\rm{ }}vi\Delta ABC}}\)  (*) Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE. Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF. Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE                            = AB + AC – (BD + CE)                            = AB + AC – (BF + CF)                            = AB + AC – BC. Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN. Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH. Tương tự ta có NE = NH. Ta có: Chu vi ∆AMN = AM + AN + MN = AD – MD + AE – NE + MN = AD + AE – (MD + NE) + MN = AD + AE – (MH + NH) + MN = AD + AE – MN + MN = AD + AE = AB + AC – BC = AB + AC + BC – 2BC = Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC) = 16 – 2x. Từ (*) ta có: \(\frac{MN}{BC}=\frac{chu\text{ }vi\Delta AMN}{chu\text{ }vi\Delta ABC}\), hay \(\frac{{MN}}{x} = \frac{{16 - 2x}}{{16}}\). Từ đó MN = \(\frac{{x(16 - 2x)}}{{16}} = \frac{{2x(8 - x)}}{{16}} = \frac{{4x(8 - x)}}{{32}} \le \frac{{{{\left[ {x + (8 - x)} \right]}^2}}}{{32}} = 2\). Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.