Đề bài

Xét một điểm M trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AC. a) Hỏi tứ giác MPAN là hình gì?

b) Hỏi M ở vị trí nào thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác MPAN có: \(\widehat {NAP} = \widehat {APM} = \widehat {MNA} = {90^o}\) Do đó tứ giác MPAN là hình chữ nhật. b) Vì tứ giác MPAN là hình chữ nhật có hai đường chéo AM và NP nên AM = NP. Để đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất thì AM có độ dài ngắn nhất. Khi đó, MA là đường vuông góc kẻ từ A đến đoạn thẳng BC hay AM là đường cao của tam giác ABC. Mà tam giác ABC vuông cân tại A nên AM cũng là đường trung tuyến. Do đó M là trung điểm của BC. Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng BC thì đoạn thẳng NP có độ dài ngắn nhất.