Đề bài

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ∆OAM = ∆OCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.• AB // CD nên AM // CN suy ra \(\widehat {OAM} = \widehat {OCN}\) (hai góc so le trong).Xét ∆OAM và ∆OCN có:\(\widehat {OAM} = \widehat {OCN}\) (chứng minh trên)OA = OC (chứng minh trên)\(\widehat {AOM} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.Suy ra BM = DN.Xét tứ giác MBND có:• BM // DN (vì AB // CD)• BM = DN (chứng minh trên)Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.