Đề bài

Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Có ABCD là hình bình hành nên \( AB//CD;AB = CD.\) M và P lần lượt là trung điểm của AB và DC nên \(AM = \frac{1}{2}AB;DP = \frac{1}{2}DC\) suy ra \(AM = DP\left( 1 \right)\) Vì \(AB//DC\) nên \(AM//DP\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(AMPD\) là hình bình hành (dhnb). b) Có ABCD là hình bình hành nên \( AD//BC;AD = BC\) Q và N lần lượt là trung điểm của AD và BC nên \(AQ = \frac{1}{2}AD;CN = \frac{1}{2}BC\). Do đó \(AQ = CN\left( 3 \right)\) Vì \(AD//BC\) nên \(AQ//CN\left( 4 \right)\) Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra AQCN là hình bình hành (dhnb) nên \( AN//CQ\) (tính chất hbh). c) Xét tam giác ABD có QM là đường trung bình nên \( QM//BD;QM = \frac{1}{2}BD\left( 5 \right)\) Xét tam giác BCD có PN là đường trung bình nên \( PN//BD;PN = \frac{1}{2}BD\left( 6 \right)\) Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \(QM//PN;QM = PN\). Do đó MNPQ là hình bình hành (dhnb).