Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD,AC = BD,AD = BC\). a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó. b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC. Tam giác ADC và tam giác BCD có: CD chung, \(AC = BD,AD = BC\) Suy ra, \(\Delta ADC = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right)\) nên \(AN = BN\) (hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD) Do đó, tam giác NAB cân tại N. Do đó, NM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(NM \bot AB\) Chứng minh tương tự ta có: \(NM \bot CD\) Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó b) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MQ = \frac{{AC}}{2}\) Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên \(PN = \frac{{AC}}{2}\). Do đó, \(MQ = PN = \frac{{AC}}{2}\) Chứng minh tương tự ta có: \(MP = QN = \frac{{BD}}{2}\) Mà \(AC = BD\). Do đó, \(MQ = PN = MP = QN\) Suy ra, tứ giác MPNQ là hình thoi, suy ra \(MN \bot PQ\)