Đề bài

Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích \(5{\rm{ }}l\). Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng/m², giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m²🅠. Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn (giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)?

Lời giải chi tiết

Đổi: 5 lít = 5 \(d{m^3}\) = 0,005 \({m^3}\). Gọi r (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, r > 0. h (m) là chiều cao thùng sơn hình trụ, h > 0. Ta có \({V_{tru}} = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 0,005 = \pi {r^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}}\) (m). Diện tích xung quanh thùng sơn là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi r.\frac{{0,005}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{0,01}}{r}\) \(\left( {{m^2}} \right)\). Diện tích đáy thùng sơn là: \({S_{day}} = \pi {r^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\). Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng sơn là: \(100{S_{xq}} = 100.\frac{{0,01}}{r} = \frac{1}{r}\) (nghìn đồng). Giá sản xuất mặt hai mặt đáy của một thùng sơn là: \(120.2.\pi {r^2} = 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng). Chi phí sản xuất một thùng sơn là: \(C(r) = \frac{1}{r} + 240\pi {r^2}\) (nghìn đồng). Xét \(C'(r) =  - \frac{1}{{{r^2}}} + 480\pi r = 0 \Leftrightarrow 480\pi r = \frac{1}{{{r^2}}} \Leftrightarrow 480\pi {r^3} = 1 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\). Bảng biến thiên của hàm số C(r) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của C(r) là xấp xỉ 17,20105 nghìn đồng. Ta có \(\frac{{1000000}}{{17,20105}} \approx 58135,98533\). Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58135 thùng sơn.