Đề bài

Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = x² + 1 và P(x) - Q(x) = 2x.

Lời giải chi tiết

Ta có: P(x) - Q(x) = 2x \( \Rightarrow Q(x) = P(x) - 2x\). Khi đó P(x) + Q(x) = x² 𒉰+ 1 \( \Leftrightarrow P(x) + \left( {P(x) - 2x} \right) = {x^2} + 1\)

                                                                        \( \Leftrightarrow 2.P(x) - 2x = {x^2} + 1\)                                                                        \( \Leftrightarrow 2.P(x) = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}\)Với \(P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}\) thì \(Q(x) = P(x) - 2x = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) - 2x = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2} - 2x = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}\)Vậy \(P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2},Q(x) = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}\)